⊆ ⫋ ⊊ ⊄ ⊂分别是什么意思？ - 知乎
⊆ ⫋ ⊊ ⊄ ⊂分别是什么意思？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数学高等数学数学分析高中数学高考数学⊆ ⫋ ⊊ ⊄ ⊂分别是什么意思？关注者32被浏览805,621关注问题写回答邀请回答好问题 6添加评论分享4 个回答默认排序最初的冷聿 关注⊆是包含于符号：A包含于B-则A为B的子集或等于B。⊆下面横线加“/”表示不包含于，是⊆的否定。⫋是真包含符号：A真包含于B-则A为B的真子集，若B={1，2}，则A={1}或{2}或空集。⊂是包含于符号，和⊆的区别是：A包含于B-则A为B的子集（少了“等于B”）。⊂加“/”表示不包含于，是⊂的否定。符号开口方向向左和向右表示包含和包含于的关系，意思是一样理解的。例如：⊇是包含符号：A包含B-则B为A的子集或等于A。数学符号拓展：1、几何符号 ⊥ ∥ ∠ ⌒ ⊙ ≡ ≌ △ 2、代数符号 ∝ ∧ ∨ ～ ∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶ 3、运算符号 如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。 4、集合符号 ∪ ∩ ∈ 5、特殊符号 ∑ π（圆周率） 6、推理符号 |a| ⊥ ∽ △ ∠ ∩ ∪ ≠ ≡ ± ≥ ≤ ∈ ← ↑ → ↓ ↖ ↗ ↘ ↙ ∥ ∧ ∨ &; § ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ ∈ ∏ ∑ ∕ √ ∝ ∞ ∟ ∠ ∣ ∥ ∧ ∨ ∩ ∪ ∫ ∮ ∴ ∵ ∶ ∷ ∽ ≈ ≌ ≒ ≠ ≡ ≤ ≥ ≦ ≧ ≮ ≯ ⊕ ⊙ ⊥ ⊿ ⌒ ℃ 指数0123：o123 7、数量符号 如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。 8、关系符号 如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。“→ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“⊆ ⊂ ⊇ ⊃”是“包含”符号等。 9、结合符号 如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—” 10、性质符号 如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±” 11、省略符号 如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠）， ∵因为，（一个脚站着的，站不住） ∴所以，（两个脚站着的，能站住） 总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。 12、排列组合符号 C-组合数 A-排列数 N-元素的总个数 R-参与选择的元素个数 !-阶乘 ，如5！=5×4×3×2×1=120 C-Combination- 组合 A-Arrangement-排列 13、离散数学符号 ├ 断定符（公式在L中可证） ╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足） ┐ 命题的“非”运算 ∧ 命题的“合取”（“与”）运算 ∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算 → 命题的“条件”运算 A<=>B 命题A 与B 等价关系 A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系 A* 公式A 的对偶公式 wff 合式公式 iff 当且仅当 ↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ） ↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ） □ 模态词“必然” ◇ 模态词“可能” φ 空集 ∈ 属于（??不属于） P（A） 集合A的幂集 |A| 集合A的点数 R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合” （或下面加 ≠） 真包含 ∪ 集合的并运算 ∩ 集合的交运算 - （～） 集合的差运算 〡 限制 [X](右下角R) 集合关于关系R的等价类 A/ R 集合A上关于R的商集 [a] 元素a 产生的循环群 I (i大写) 环，理想 Z/(n) 模n的同余类集合 r(R) 关系 R的自反闭包 s(R) 关系 的对称闭包 CP 命题演绎的定理（CP 规则） EG 存在推广规则（存在量词引入规则） ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则） UG 全称推广规则（全称量词引入规则） US 全称特指规则（全称量词消去规则） R 关系 r 相容关系 R○S 关系 与关系 的复合 domf 函数 的定义域（前域） ranf 函数 的值域 f:X→Y f是X到Y的函数 GCD(x,y) x,y最大公约数 LCM(x,y) x,y最小公倍数 aH(Ha) H 关于a的左（右）陪集 Ker(f) 同态映射f的核（或称 f同态核） [1，n] 1到n的整数集合 d(u,v) 点u与点v间的距离 d(v) 点v的度数 G=(V,E) 点集为V，边集为E的图 W(G) 图G的连通分支数 k(G) 图G的点连通度 △（G) 图G的最大点度 A(G) 图G的邻接矩阵 P(G) 图G的可达矩阵 M(G) 图G的关联矩阵 C 复数集 N 自然数集（包含0在内） N* 正自然数集 P 素数集 Q 有理数集 R 实数集 Z 整数集 Set 集范畴 Top 拓扑空间范畴 Ab 交换群范畴 Grp 群范畴 Mon 单元半群范畴 Ring 有单位元的（结合）环范畴 Rng 环范畴 CRng 交换环范畴 R-mod 环R的左模范畴 mod-R 环R的右模范畴 Field 域范畴 Poset 偏序集范畴拓展内容摘自百度，侵删。发布于 2019-11-20 09:59赞同 15116 条评论分享收藏喜欢收起知乎用户简而言之⊆ ⫅ 有可能相等带斜杠的⊊ ⫋不可能相等是真子集⊂ 有歧义，如果作者在不明确解释的情况下使用，可以合法问候作者家人（误另外忍不住吐槽一句中文互联网环境是真垃圾。外网随手一搜就有的答案，局域网里没一个说得清楚的Refhttps://math.stackexchange.com/questions/1038233/subset-of-above-not-equal-to-subsetneqq-symbol/1038269#1038269编辑于 2022-06-26 14:54赞同 322 条评论分享收藏喜欢收起写回答1 个回答被折叠（为什
真子集_百度百科
百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心真子集播报讨论上传视频数学术语收藏查看我的收藏0有用+10本词条由《中国科技信息》杂志社 参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证 。如果集合A是集合B的子集，并且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集（proper subset）。如果A包含于B，且A不等于B，就说集合A是集合B的真子集。中文名真子集外文名proper subset别 名真包含表达式A⫋B适用领域集合应用学科数学目录1定义▪子集▪真子集定义2举例3有关命题4符号定义播报编辑子集一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 [1]即，对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，则A⊆B。 [1]可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。 [2-3]真子集定义如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。即：对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，则A⫋B。空集是任何非空集合的真子集。非空真子集：如果集合A⫋B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集（nonvoid proper subset）。 [2]真子集与子集的区别：子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。 [1]举例播报编辑所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集；所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集（即N⫋Z）；{1, 3} ⫋ {1, 2, 3, 4}，{1, 2, 3} ⫋ {1, 2, 3, 4}； ∅ ⫋ {∅}。但不能说{1, 2, 3} ⫋ {1, 2, 3}。 [2]设全集I为{1, 2, 3}，则它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、∅；而它的真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、∅。它的非空真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。 [1]有关命题播报编辑实例命题1：若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2n，且有2n-1个真子集，2n-2个非空真子集。 [1]证明：设元素编号为1, 2, ... n，每个子集对应一个长度为n的二进制数（规定数的第 i 位为1表示元素i在集合中，0表示元素i 不在集合中。如全集U={e1, e2, e3, e4, e5}，则{e1,e2,e3,e4,e5} ↔ 11111，{e2,e3,e4} ↔ 01110，{e4} ↔ 00010）。即其子集为00...0（n个0） ~ 11...1（n个1）。易知一共有2n个数，因此对应2n个子集。去掉11...1（即表示原来的集合A）则有2n-1个真子集，再去掉00...0（表示空集）则有2n-2个非空真子集。 [4]命题2：空集是任意集合的子集。证明：给定任意集合A，要证明∅是A 的子集。这要求给出所有∅的元素是A 的元素；但是，∅没有元素。对有经验的数学家们来说，推论 “∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素”是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 换一种思维将有所帮助，为了证明∅不是A 的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A 的子集。这个命题说明：包含是一种偏序关系。 [4]命题3：若 A，B，C是集合，则：自反性: A⊆A，反对称性: A⊆ B且 B⊆ A，当且仅当A= B，传递性: 若 A⊆ B且 B⊆ C则 A⊆ C。这个命题说明：对任意集合 S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。命题4：若 A，B，C是集合 S的子集，则： [4]存在一个最小元和一个最大元： ∅ ⊆ A⊆ S（ ∅⊆A由命题2给出）。存在并运算: A⊆ A∪B若 A⊆ C且 B⊆ C则 A∪B⊆ C存在交运算: A∩B⊆ A若 C⊆ A且 C⊆ B则 C⊆ A∩B。这个命题说明：表述 "A⊆ B" 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。 [3]命题5: 对任意两个集合 A和 B，下列表述等价：A⊆ B A∩ B= A A∪ B= B A− B=∅ B′ ⊆ A′。 [2]符号播报编辑集合思想起源很早，但是集合论作为一门学科是19世纪末、20世纪初才开始发展起来的，为奠定科学集合论做出重要贡献的是著名数学家康托尔（G.Cantor，1845-1918）。他的思想曾在数学界引起很大的争议，在集合论的大论战中，有些数学家创造了集合中使用的有关符号。其中“∈”、“⊂”、“⊆ ”、符号是意大利数学家皮亚诺（G.Peano,1858-1932）首先使用的。他用“∈”表示属于关系，如a是集合A的元素，他记为a∈A如B⊂A表示集合B真包含于A或B是A的真子集。至于a不属于A的元素记号，a∉A则是后来人延伸创用的。 [5]新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000“真包含于”的符号是 ⫋，还是 ⊂？两个符号的关系是什么？ - 知乎
“真包含于”的符号是 ⫋，还是 ⊂？两个符号的关系是什么？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数学数学史数学符号集合论集合（数学）“真包含于”的符号是 ⫋，还是 ⊂？两个符号的关系是什么？在映射的定义中，《同济大学高等数学第七版》关于描述“真包含于”的符号时，用的是 [公式] ，即“值域真包含于非空集合 Y”，也就是说“⊂”代表“真包含…显示全部 关注者26被浏览223,275关注问题写回答邀请回答好问题 7添加评论分享5 个回答默认排序端木弗貢厲王喜，告召公曰：「吾能弭謗矣……」 关注这没有什么，不过就是符号的用法上有分歧罢了。说白了，⊂ 是个有歧义的符号，有的作者用 A \subset B 来表示A是B的真子集，而有的作者则以之表示A是B的子集。为了避免歧义，可以用 A \subsetneq B , A \subseteq B 来分别表示「A是B的真子集，A是B的子集」。前者的意思是 A \subset B \wedge A \neq B . 这样写当然也就没有歧义了。⫋ 就是⊊的另一种写法符号允许 A = B⊂不确定⊆是⫅是⊊否⫋否发布于 2021-05-01 11:47赞同 415 条评论分享收藏喜欢收起知乎用户我们高中是按后者教的发布于 2021-05-01 13:21赞同 13 条评论分享收藏喜欢
集合间的基本关系 - 知乎
集合间的基本关系 - 知乎首发于数学中巧汇切换模式写文章登录/注册集合间的基本关系淦数学教师资格证持证人子集对于两个集合A与B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作 A\subseteq B （或 B\supseteq A ），读作“A含于B”（“或B包含A”）。也就是说，A是B的子集，即：A\subseteq B\Leftrightarrow 任取 x\in A ,总有 x\in B 。当A不是B的子集时，记作A⊈B（或B⊉A）。说明（1）⊆可以换用⊂，⊇可以换用⊃；⊈可以换用⊄，⊉可以换用⊅。（2）用韦恩图表示子集为：真子集对于两个集合A与B，如果A\subseteq B，并且 A\ne B ，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B\supsetneqqA）。A是B的真子集：A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A。即 A⫋B \Leftrightarrow 任取x\in A ,总有x\in B，但存在 y\in B ，y\notin A 。集合相等对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。即 A=B\Leftrightarrow A\subseteq B 且 B\subseteq A 。空集不含任何元素的集合称为空集，记作 \phi 。说明∅与{∅}关系：{∅}是只含有一个元素的单元素集。∅与{∅}之间可以用四个符号： \in ,\ne ,\subseteq , \subsetneqq 中的任意一个把它们链接起来，但不能用等号连接。非空集合至少含有一个元素的集合叫做非空集合。全集如果有一个集合含有我们所要研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常用U表示。全集是一个相对的概念，它是相对于它的一切子集而言的。集合与集合的包含关系集合A与集合B有且仅有下列两种关系之一： A\subseteq B 与 A\not\subseteq B 说明（1）真子集必是子集，子集不一定是真子集，即 A\subsetneqq B\Rightarrow A\subseteq B ；（2）任何一个集合是它本身的子集，即 A\subseteq A ；（3）空集是任何集合的子集，即 ∅\subseteq A ，空集是任何非空集合的真子集，即 ∅\subsetneqq A\ne ∅ ；（4）n元素的全部子集个数为 2^{n} 个，真子集为 2^{n}-1 个；若{ a_{1},a_{2},\cdots，a_{m} } \subseteq A \subseteq{ a_{1},a_{2},\cdots，a_{m},a_{m+1},\cdots，a_{n} } ，则集合A的个数为 2^{n-m} 个；若{ a_{1},a_{2},\cdots，a_{m} } \cup B={ a_{1},a_{2},\cdots，a_{m},a_{m+1},\cdots，a_{n} }，则集合B的个数为 2^{m} 个。（5）对于集合A、B、C，若 A\subseteq B ， B\subseteq C ，则 A\subseteq C 对于集合A、B、C，若 A\subsetneqq B , B\subsetneqq C ,则 A\subsetneqq C .（6）注意 a与{a}、数0与{0}、{0}与∅、{（a,b）}与{a,b}、∅与{∅}等之间的区别。补集设 A\subseteq U ，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 \complement _{U} A (读作“A在U中的补集”)。用符号语言表示为：\complement _{U} A=\left\{ x|x\in U且x\notin A \right\} 用韦恩图表示即为如下图所示的阴影部分表示\complement _{U} AA在U中的补集由补集定义可知，若 B=\complement _{s}A 则 \complement _{S}B=A。补集的相关性质设全集为U， A\subseteq U ，则有 \complement _{U}U=∅ \complement _{U}∅=U发布于 2018-07-15 20:14集合论数理逻辑（Mathematical Logic）代数几何数学高中数学中学教育赞同 1035 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录数学中巧汇汇集知识点以及解
集合关系符号表示中⊂和⊆和 ⫋ 不一样？第一个是子集吗？ - 知乎
集合关系符号表示中⊂和⊆和 ⫋ 不一样？第一个是子集吗？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册离散数学数理逻辑（Mathematical Logic）集合论公理化定义集合（数学）集合关系符号表示中⊂和⊆和 ⫋ 不一样？第一个是子集吗？关注者6被浏览64,829关注问题写回答邀请回答好问题 1添加评论分享2 个回答默认排序Sprout以自然之道，养自然之身。 关注符号⊆表示任何子集关系，符号⫋表示真子集关系。⊂也是一个很常见的符号，但其含义容易混淆。有人用⊂表示任何子集和超集关系，即⊆代表的含义。所以在这些作者的文章中，对于任意集合A， A⊂A始终成立。也有人用⊂表示真子集和真超集的概念，即⫋代表的含义。这样⊆和⊂就类似于不等符号≤和<的关系。例如如果x≤y，那么x可等于y也可能不等于，而如果x 集合符号 集合符号 集合是收集起来的一些东西，通常是数字。我们把所有元素（也称 "成员"）以逗号分隔，放在大括號里： 集合论常用符号 使用符号可以节省时间和空间。以下是集合论里常用的符号 在下面的例子里，C = {1,2,3,4}，D = {3,4,5} 符号l 意思 例子 { } 集合：收集起来的元素 {1,2,3,4} A ∪ B 并集: 在 A 或/和 B 里（在两个或任何一个集里） C ∪ D = {1,2,3,4,5} A ∩ B 交集: 在 A 和 B 里（不能只在一个集里） C ∩ D = {3,4} A ⊆ B 子集：A 含有 B 的一些（或所有）元素 {3,4,5} ⊆ D A ⊂ B 真子集：A 含有 B 的一些元素 {3,5} ⊂ D A ⊄ B 非子集：A 不是 B 的子集 {1,6} ⊄ C A ⊇ B 超集：A 有 B 的所有元素，或更多 {1,2,3} ⊇ {1,2,3} A ⊃ B 真超集：A 有 B 的所有元素及更多 {1,2,3,4} ⊃ {1,2,3} A ⊅ B 非超集：A 不是 B 的超集 {1,2,6} ⊅ {1,9} Ac 补集（也称余集）：不在 A 的元素 Dc = {1,2,6,7} 当 = {1,2,3,4,5,6,7} A − B 差集：在 A 里但不在 B 里 {1,2,3,4} − {3,4} = {1,2} a ∈ A 是…的元素：a 是 A 的元素 3 ∈ {1,2,3,4} b ∉ A 不是…的元素：b 不是 A 的元素 6 ∉ {1,2,3,4} ∅ 空集 = {} {1,2} ∩ {3,4} = Ø 全集：含有所有可能的元素的集 （在当前话题中） P(A) 幂集：A 的所有子集 P({1,2}) = { {}, {1}, {2}, {1,2} } A = B 相等：有相同的元素 {3,4,5} = {3,4,5} A×B 笛卡尓积：第一个对象是A的成员而第二个对象是B的成员的所有可能有序对的集 {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} |A| 基数：集 A 的元素的个数 |{3,4}| = 2 | 使得 { n | n > 0 } = {1,2,3,...} : 使得 { n : n > 0 } = {1,2,3,...} ∀ 对于所有 ∀x>1, x2>x ∃ 存在 ∃ x | x2>x ∴ 因此 a=b ∴ b=a 自然数 {1,2,3,...} 或 {0,1,2,3,...} 整数 {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} 有理数 代数数 实数 虚数 3i 复数 2 + 5i 代数符号 数学符号 集合索引 版权所有 © 2017 MathsIsFun.com 真子集_百度百科 Beta 進入詞條 清除歷史記錄關閉 反饋 分享 複製鏈接 請複製以下鏈接發送給好友 https://baike.baidu.hk/item/真子集/105715 複製 複製成功 真子集 鎖定 如果集合A是集合B的子集，並且集合B不是集合A的子集，那麼集合A叫做集合B的真子集（proper subset）。如果A包含於B，且A不等於B，就説集合A是集合B的真子集。 中文名 真子集 外文名 proper subset 別 名 真包含 表達式 A⫋B 適用領域 集合 應用學科 數學 目錄 1 定義 ▪ 子集 ▪ 真子集定義 2 舉例 3 有關命題 4 符號 真子集定義 真子集子集 一般地，對於兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就説這兩個集合有包含關係，稱集合A為集合B的子集（subset）。記作A⊆B（或B⊇A），讀作“A包含於B”（或“B包含A”）。 [1] 即，對於集合A與B，∀x∈A有x∈B，則A⊆B。 [1] 可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。 [2] [3] 真子集真子集定義 如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不屬於集合A，我們稱集合A與集合B有真包含關係，集合A是集合B的真子集（proper subset）。記作A⫋B（或B⫌A），讀作“A真包含於B”（或“B真包含A”）。即：對於集合A與B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，則A⫋B。空集是任何非空集合的真子集。非空真子集：如果集合A⫋B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集（nonvoid proper subset）。 [2] 真子集與子集的區別：子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等。 [1] 真子集舉例 所有亞洲國家組成的集合是地球上所有國家組成的集合的真子集；所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集（即N⫋Z）；{1, 3} ⫋ {1, 2, 3, 4}，{1, 2, 3} ⫋ {1, 2, 3, 4}； ∅ ⫋ {∅}。但不能説{1, 2, 3} ⫋ {1, 2, 3}。 [2] 設全集I為{1, 2, 3}，則它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、∅；而它的真子集只能為{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、∅。它的非空真子集只能為{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。 [1] 真子集有關命題 實例 命題1：若集合A有n個元素，則集合A的子集個數為2n，且有2n-1個真子集，2n-2個非空真子集。 [1] 證明：設元素編號為1, 2, ... n，每個子集對應一個長度為n的二進制數（規定數的第 i 位為1表示元素i在集合中，0表示元素i 不在集合中。如全集U={e1, e2, e3, e4, e5}，則{e1,e2,e3,e4,e5} ↔ 11111，{e2,e3,e4} ↔ 01110，{e4} ↔ 00010）。即其子集為00...0（n個0） ~ 11...1（n個1）。易知一共有2n個數，因此對應2n個子集。去掉11...1（即表示原來的集合A）則有2n-1個真子集，再去掉00...0（表示空集）則有2n-2個非空真子集。 [4] 命題2：空集是任意集合的子集。證明：給定任意集合A，要證明∅是A 的子集。這要求給出所有∅的元素是A 的元素；但是，∅沒有元素。對有經驗的數學家們來説，推論 “∅沒有元素，所以∅的所有元素是A 的元素”是顯然的；但對初學者來説，有些麻煩。 換一種思維將有所幫助，為了證明∅不是A 的子集，必須找到一個元素，屬於∅，但不屬於A。因為∅沒有元素，所以這是不可能的。因此∅一定是A 的子集。這個命題説明：包含是一種偏序關係。 [4] 命題3：若 A，B，C是集合，則：自反性: A⊆A，反對稱性: A⊆ B且 B⊆ A，當且僅當A= B，傳遞性: 若 A⊆ B且 B⊆ C則 A⊆ C。這個命題説明：對任意集合 S，S的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。命題4：若 A，B，C是集合 S的子集，則： [4] 存在一個最小元和一個最大元： ∅ ⊆ A⊆ S（ ∅⊆A由命題2給出）。存在並運算: A⊆ A∪B若 A⊆ C且 B⊆ C則 A∪B⊆ C存在交運算: A∩B⊆ A若 C⊆ A且 C⊆ B則 C⊆ A∩B。這個命題説明：表述 "A⊆ B" 和其他使用並集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。 [3] 命題5: 對任意兩個集合 A和 B，下列表述等價：A⊆ B A∩ B= A A∪ B= B A− B=∅ B′ ⊆ A′。 [2] 真子集符號 集合思想起源很早，但是集合論作為一門學科是19世紀末、20世紀初才開始發展起來的，為奠定科學集合論做出重要貢獻的是著名數學家康托爾（G.Cantor，1845-1918）。他的思想曾在數學界引起很大的爭議，在集合論的大論戰中，有些數學家創造了集合中使用的有關符號。其中“∈”、“⊂”、“⊆ ”、符號是意大利數學家皮亞諾（G.Peano,1858-1932）首先使用的。他用“∈”表示屬於關係，如a是集合A的元素，他記為a∈A如B⊂A表示集合B真包含於A或B是A的真子集。至於a不屬於A的元素記號，a∉A則是後來人延伸創用的。 [5] 參考資料 1. 曲一線等．五年高考三年模擬 數學必修一．北京：首都師範大學出版社，2014 2. 人民教育出版社．數學 必修一．北京：人民教育出版社，2014 3. 呂保獻．初等數學．北京：北京大學出版社，2016 4. Fleix Klein．高觀點下的初等數學．上海：復旦大學出版社，2010 5. 李延洲.淺析高中非空真子集與真子集的關係[J].神州,2018,0(6):131-131 圖集 真子集的概述圖（2張） 詞條統計 瀏覽次數：次 編輯次數：62次歷史版本 最近更新： vera菊花香 （2023-11-27） 1 定義 1.1 子集 1.2 真子集定義 2 舉例 3 有關命題 4 符號 百科協議 隱私協議 意見反饋 Beta 進入詞條 清除歷史記錄關閉 反饋 登錄 集合论的集合符号（Ø，U，{}，∈，...） RT 首页/数学/数学符号/设置符号 设置理论符号 集合理论和概率的集合符号列表。 集合理论符号表 符号 符号名称 含义/定义 例 {} 设置 元素集合 A = {3,7,9,14}，B = {9,14,28} | 这样 以便 A = { x | X ∈ ，X <0} ⋂ 路口 属于集合A和集合B的对象 A⋂B = {9,14} ⋃ 联盟 属于集合A或集合B的对象 A⋃B = {3,7,9,14,28} ⊆ 子集 A是B的子集。集合A包含在集合B中。 {9,14,28}⊆{9,14,28} ⊂ 适当子集/严格子集 A是B的子集，但A不等于B。 {9,14}⊂{9,14,28} ⊄ 不是子集 集A不是集B的子集 {9,66}⊄{9,14,28} ⊇ 超集 A是B的超集。集合A包括集合B {9,14,28}⊇{9,14,28} ⊃ 适当的超集/严格的超集 A是B的超集，但B不等于A。 {9,14,28}⊃{9,14} ⊅ 不超集 集A不是集B的超集 {9,14,28}⊅{9,66} 2一 功率设定 A的所有子集 功率设定 A的所有子集 A = B 平等 两组都有相同的成员 A = {3,9,14}，B = {3,9,14}，A = B 一ç 补充 所有不属于集合A的对象 一种' 补充 所有不属于集合A的对象 A \ B 相对互补 属于A而不属于B的对象 A = {3,9,14}，B = {1,2,3}，A \ B = {9,14} AB 相对互补 属于A而不属于B的对象 A = {3,9,14}，B = {1,2,3}，A-B = {9,14} A∆B 对称差异 属于A或B但不属于它们的交集的对象 A = {3,9,14}，B = {1,2,3}，A ∆ B = {1,2,9,14} ⊖ 对称差异 属于A或B但不属于它们的交集的对象 A = {3,9,14}，B = {1,2,3}，A = B = {1,2,9,14} 一∈A 的元素，属于 设定会员 A = {3,9,14}，3∈A X ∉A 不是元素 没有固定的会员资格 A = {3,9,14}，1∉A （a，b） 有序对 2个元素的集合 A×B 笛卡尔积 A和B中所有有序对的集合 | A | 基数 集A的元素数 A = {3,9,14}，| A | = 3 ＃一种 基数 集A的元素数 A = {3,9,14}，＃A = 3 | 竖线 这样 A = {x | 3 ℵ 0 空 自然数的无限基数 ℵ 1 炔属 可数序数集的基数 Ø 空集 Ø= {} A =Ø 通用集 所有可能值的集合 ℕ 0 自然数/整数集（零） 0 = {0,1,2,3,4，...} 0∈ 0 ℕ 1 自然数/整数集（不包含零） 1 = {1,2,3,4,5，...} 6∈ 1 ℤ 整数集 = {...- 3，-2，-1,0,1,2,3，...} -6∈ ℚ 有理数集 = { x | X =一个/ b，一个，b ∈和b ≠0} 2/6∈ ℝ 实数集 = { x | -∞< x <∞} 6.343434∈ ℂ 复数集 = { z | z = a + bi，-∞< a <∞，-∞< b <∞} 6 + 2我∈ 统计符号► 也可以看看 概率和统计符号 基本数学符号 逻辑符号 概率与统计 Advertising 数学符号 基本数学符号 代数符号 几何符号 统计符号 逻辑符号 设置符号 微积分符号 数字符号 希腊符号 罗马数字 快速表格 推荐网站 发送反馈 关于 首页| 网页| 数学| 电力| 计算器| 转换器| 工具类 © 2024 RT | 关于| 使用条款| 隐私政策| 管理Cookies 该网站使用Cookie来改善您的体验，分析流量并展示广告。学到更多 确定 管理设置 百度知道 - 信息提示 百度首页 商城 注册 登录 网页 资讯 视频 图片 知道 文库 贴吧采购 地图更多 搜索答案 我要提问 百度知道>提示信息 知道宝贝找不到问题了>_ 该问题可能已经失效。返回首页 15秒以后自动返回 帮助 | 意见反馈 | 投诉举报 京ICP证030173号-1 京网文【2023】1034-029号 ©2024Baidu 使用百度前必读 | 知道协议 百度知道 - 信息提示 百度首页 商城 注册 登录 网页 资讯 视频 图片 知道 文库 贴吧采购 地图更多 搜索答案 我要提问 百度知道>提示信息 知道宝贝找不到问题了>_ 该问题可能已经失效。返回首页 15秒以后自动返回 帮助 | 意见反馈 | 投诉举报 京ICP证030173号-1 京网文【2023】1034-029号 ©2024Baidu 使用百度前必读 | 知道协议 真子集_百度百科
集合论的集合符号（Ø，U，{}，∈，...）
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